JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是三种网络特性的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。有一一个多 图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了有一一个多 图的特性:

  在介绍何如用JavaScript实现图前一天,朋友先介绍某些和图相关的术语。

  如上图所示,由十根边连接在一同的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。有一一个多 顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它有一一个多 顶点相连,就是A的度为3,E和其它有一一个多 顶点相连,就是E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中包含路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包包含重复的顶点,可能将的最后有一一个多 顶点换成,它也是有一一个多 简单路径。类式路径ADCA是有一一个多 环,它后会 有一一个多 简单路径,可能将路径中的最后有一一个多 顶点A换成,没办法 它就是 有一一个多 简单路径。可能图中不发生环,则称该图是无环的。可能图中任何有一一个多 顶点间都发生路径,则该图是连通的,如上图就是 有一一个多 连通图。可能图的边没办法 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,可能有一一个多 顶点间在双向上都发生路径,则称这有一一个多 顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。可能有向图中的任何有一一个多 顶点间在双向上都发生路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还还前就是加权的。前面朋友看得人的图后会 未加权的,下图为有一一个多 加权的图:

  还前要想象一下,前面朋友介绍的树和链表也属于图的三种特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,类式朋友还前要搜索图中的有一一个多 特定顶点或十根特定的边,可能寻找有一一个多 顶点间的路径以及最短路径,检测图中是不是 发生环等等。

  发生多种不同的最好的土办法来实现图的数据特性,下面介绍几种常用的最好的土办法。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,朋友用有一一个多 二维数组来表示图中顶点之间的连接,可能有一一个多 顶点之间发生连接,则这有一一个多 顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,因此为0。下图是用邻接矩阵最好的土办法表示的图:

  可能是加权的图,朋友还前要将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵最好的土办法发生有一一个多 缺点,可能图是非强连通的,则二维数组中会有就是的0,这表示朋友使用了就是的存储空间来表示根本不发生的边。那我缺点就是 当图的顶点发生改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外三种实现最好的土办法是邻接表,它是对邻接矩阵的三种改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,朋友还前要用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  朋友还还前要用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的状况下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵最好的土办法表示的图:

  下面朋友重点看下何如用邻接表的最好的土办法表示图。朋友的Graph类的骨架如下,它用邻接表最好的土办法来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中换成有一一个多

新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中换成a和b有一一个多

顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,朋友用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据特性——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每有一一个多 顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面朋友给出的邻接表的示意图。因此在Graph类中,朋友提供有一一个多 最好的土办法,最好的土办法addVertex()用来向图中换成有一一个多 新顶点,最好的土办法addEdge()用来向图中换成给定的顶点a和顶点b之间的边。让朋友来看下这有一一个多 最好的土办法的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要换成有一一个多 新顶点,首没能判断该顶点在图中是不是 可能发生了,可能可能发生则必须换成。可能不发生,就在vertices数组中换成有一一个多 新元素,因此在字典adjList中换成有一一个多 以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 可能图中没办法

顶点a,先换成顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 可能图中没办法

顶点b,先换成顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中换成指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中换成指向顶点a的边
}

  addEdge()最好的土办法也很简单,首没能确保给定的有一一个多 顶点a和b在图中前要发生,可能不发生,则调用addVertex()最好的土办法进行换成,因此分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中换成有一一个多 新元素。

  下面是Graph类的完整性代码,其中的toString()最好的土办法是为了朋友测试用的,它的发生后会 前要的。

  对于本文一开始给出的图,朋友换成下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  还前要看得人,与示意图是相符合的。

  和树类式,朋友也还前要对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历最好的土办法分为三种:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和强度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历还前要用来寻找特定的顶点或有一一个多 顶点之间的最短路径,以及检查图是不是 连通、图中是不是 包含环等。

  在接下来要实现的算法中,朋友按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问因此被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第有一一个多 顶点开始遍历图,先访问你这个顶点的所有相邻顶点,因此再访问什么相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  可能朋友采用邻接表的最好的土办法来存储图的数据,对于图的每个顶点,后会 有一一个多 字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于你这个数据特性,朋友还前要考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,因此依次出理 队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将开始顶点存入队列。
  2. 遍历开始顶点的所有邻接顶点,可能什么邻接顶点没办法 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),因此加入队列。
  3. 将开始顶点标记为被出理 (颜色为黑色)。
  4. 循环出理 队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()最好的土办法接收有一一个多 graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要何如出理 被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),什么颜色保发生以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性还前要通过getVertices()和getAdjList()最好的土办法得到,因此构造有一一个多 队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据特性——队列的实现与应用》),按照顶端描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面朋友给出的测试用例的基础上,换成下面的代码,来看看breadthFirstSearch()最好的土办法的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也就是 朋友用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,朋友将顶点I插进最顶端。从顶点I开始,首先遍历到的是它的相邻顶点E,因此是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D可能被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G可能被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,朋友还前要使用它做更多的事情,类式在有一一个多 图G中,从顶点v开始到其它所有顶点间的最短距离。朋友考虑一下何如用BFS来实现寻找最短路径。

  假设有一一个多 相邻顶点间的距离为1,从顶点v开始,在其路径上每经过有一一个多 顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()最好的土办法的改进,用来返回从起始顶点开始到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()最好的土办法中,朋友定义了有一一个多 对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及什么顶点的前置顶点。BFS()最好的土办法不前要callback回调函数,可能它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()最好的土办法的逻辑类式,只不过在开始的前一天将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,因此在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。朋友仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A开始到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()最好的土办法的返回结果为基础,通过下面的代码,朋友还前要得出从顶点A开始到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类还前要参考《JavaScript数据特性——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上朋友说的后会 未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并后会 最至少的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

强度优先

  强度优先算法从图的第有一一个多 顶点开始,沿着你这个顶点的十根路径递归查找到最后有一一个多 顶点,因此返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,强度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是强度优先遍历的示意图:

  朋友仍然采用和广度优先算法一样的思路,一开始将所有的顶点初始化为白色,因此沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,可能顶点被探索过(出理 过),则将颜色改为黑色。下面是强度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第有一一个多 顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数结构,可能顶点A被访问过了,就是将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(可能发生),因此遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,就是将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,就是将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,就是将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I没办法 邻接节点,因此将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E没办法 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的那我邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,就是将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F没办法 邻接节点,因此将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第十个 邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,就是将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,就是将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,就是将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G没办法 邻接节点,因此将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的那我邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,就是将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H没办法 邻接节点,因此将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的那我邻接节点G,可能G可能被访问过,对C的邻接节点的遍历开始。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后有一一个多 邻接节点D,可能D可能被访问过,对A的邻接节点的遍历开始。将A设置为黑色。
  17. 因此对剩余的节点进行遍历。可能剩余的节点都被设置为黑色了,就是守护程序开始。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,朋友将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,强度优先算法的数据特性是栈,然而这里朋友并没办法 使用栈来存储任何数据,就是 使用了函数的递归调用,固然递归也是栈的三种表现形式。另外某些,可能图是连通的(即图中任何有一一个多 顶点之间都发生路径),朋友还前要对上述代码中的depthFirstSearch()最好的土办法进行改进,只前要对图的起始顶点开始遍历一次就还前要了,而不前要遍历图的所有顶点,可能从起始顶点开始的递归就还前要覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了强度优先算法的工作原理,朋友还前要使用它做更多的事情,类式拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort可能toposort)。与广度优先算法类式,朋友也对顶端的depthFirstSeach()最好的土办法进行改进,以说明何如使用强度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()最好的土办法会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,朋友假定时间从0开始,每经过一步时间值加1。在DFS()最好的土办法中,朋友用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(你这个和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这有一一个多 值。这里前要注意的是,变量time固然被定义为对象而后会 有一一个多 普通的数字,是可能朋友前要在函数间传递你这个变量,可能就是 作为值传递,函数结构对变量的修改不让影响到它的原始值,因此朋友就是 前要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,就是采用值传递的最好的土办法显然不行。因此朋友将time定义为有一一个多 对象,对象被作为引用传递给函数,那我在函数结构对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()最好的土办法的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  朋友将结果反映到示意图上,那我更加直观:

  示意图上每有一一个多 顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完整性完成时间是18,还前要结合前面的强度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一同朋友也看得人,强度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序必须应用于有向无环图(DAG)。基于顶端DFS()最好的土办法的返回结果,朋友还前要对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到朋友前要的拓扑排序结果。

  可能要实现有向图,只前要对前面朋友实现的Graph类的addEdge()最好的土办法略加修改,将最后一行删掉。当然,朋友也还前要在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  因此朋友对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章朋友将介绍何如用JavaScript来实现各种常见的排序算法。